Numerischer Ansatz

In der numerischen Strömungsmechanik erfordert die Lösung gekoppelter Gleichungssysteme einen robusten numerischen Ansatz. um die Komplexität der Fluidströmung und damit verbundener physikalischer Phänomene zu bewältigen. Die folgende Diskussion beschreibt die semi-diskretisierte Formulierung, Vorkonditionierungstechniken und die zeitliche Diskretisierung. wurde zur effektiven Lösung solcher Systeme eingesetzt.

Semidiskretisierte Form des gekoppelten Systems

Die grundlegenden Gleichungen für ein gekoppeltes System lauten wie folgt:

\[ \Gamma \frac{\partial Q}{\partial t} + \frac{\partial \left( F_c - F_d \right)_j}{\partial x_j} = G \]

Hierbei ist \( Q \) der Vektor der primitiven Variablen: \[ Q^T = [u, v, p, T, k, \varepsilon, Y_1, \ldots, Y_{N-1}], \] wobei \( u \) und \( v \) die Geschwindigkeitskomponenten, \( p \) der Druck und \( T \) die Temperatur sind. und \( Y_i \) sind die Massenanteile der Spezies.

Der Flussvektor \( F_c \) repräsentiert konvektive und Druckterme, die mit dem AUSM+-up-Schema in CMPS von defalt berechnet werden. Während \( F_d \) diffusive Terme berücksichtigt, beinhaltet der Quelltermvektor \( G \) die turbulente Produktion. und Dissipation. Die Vorkonditionierungsmatrix \( \Gamma \) modifiziert das System, um die numerische Stabilität zu verbessern. und Konvergenz in Strömungen mit niedriger Mach-Zahl. Die Matrix ist gegeben als:

\[ Γ = \links[ \begin{matrix} \rho & 0 & \Theta u & \rho_T u & 0 & \cdots & \rho_{Y_1} u & \cdots & \rho_{Y_{N-1}} u \\ 0 & \rho & \Theta v & \rho_T v & 0 & \cdots & \rho_{Y_1} v & \cdots & \rho_{Y_{N-1}} v \\ 0 & 0 & \Theta & \rho_T & 0 & \cdots & \rho_{Y_1} & \cdots & \rho_{Y_{N-1}} \\ \rho u & \rho v & \Theta H - 1 & \rho_T H + \rho C_p & \cdots & \rho_{Y_1} H + \rho h_1 & \cdots & \rho_{Y_{N-1}} H + \rho h_{N-1} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{matrix} \Rechts] \]

In dieser Matrix sind \( \rho_T \) und \( \rho_{Y_k} \) die partiellen Ableitungen der Dichte nach Temperatur und Massenanteile der Spezies. Der Term \( \Theta \) ist wie folgt definiert:

\[ \Theta = \left( \frac{1}{V_r^2} - \frac{\rho_T}{\rho C_p} \right), \] wobei \( V_r^2 \) die lokale Referenzgeschwindigkeit ist. Diese Geschwindigkeit wird durch die folgenden Bedingungen bestimmt:

\[ V_r = \begin{cases} 10^{-5} a & \text{falls } |u| \leq 10^{-5} a, \\ |u| & \text{falls } 10^{-5} a < |u| < a, \\ a & \text{falls } |u| \geq a. \end{cases} \]

Diese Formulierung gewährleistet numerische Stabilität über einen weiten Bereich von Strömungsregimen. Die AUSM+-up-Flussformulierung, In Kombination mit der Vorkonditionierungsmatrix ist sie besonders effektiv für stationäre Unterschallprobleme.

Zeitliche Diskretisierung

Um die Lösung im Laufe der Zeit voranzutreiben, wird die implizite zeitliche Diskretisierung des gekoppelten Systems wie folgt geschrieben:

\[ \links[ \frac{\Gamma}{\Delta t} + \frac{\partial}{\partial Q} \left( \frac{\partial (F_c - F_d)_j}{\partial x_j} - G \right) \right]^n (Q^{n+1} - Q^n) = \left( \frac{\partial (F_c - F_d)_j}{\partial x_j} \right)^n + G^n. \]

Die explizite Version dieser Gleichung lautet:

\[ \frac{\Gamma^n}{\Delta t} (Q^{n+1} - Q^n) = \left( \frac{\partial (F_c - F_d)_j}{\partial x_j} \right)^n + G^n. \]

Durch Integration über ein Kontrollvolumen \( \Omega_P \) und Anwendung des Divergenzsatzes ergibt sich die Gleichung:

\[ \links[ \frac{1}{\Delta t} \int_{\Omega_P} \Gamma \, d\Omega + \frac{\partial}{\partial Q} \left( \oint_{\partial \Omega_P} (F_c - F_d) \cdot dS - \int_{\Omega_P} G \, d\Omega \Rechts) \right]^n Q^* = \links( \oint_{\partial \Omega_P} (F_c - F_d) \cdot dS - \int_{\Omega_P} G \, d\Omega \right)^n. \]

Die räumlich diskretisierte Form ergibt sich wie folgt:

\[ \links[ \frac{\Omega_P \Gamma_P}{\Delta t} + \frac{\partial}{\partial Q} \links( \sum_{f \in nb(P)} \left( F_c - F_d \right)_f \cdot S_f - \Omega_P G_P \Rechts) \right]^n Q^* = \links( \sum_{f \in nb(P)} \left( F_c - F_d \right)_f \cdot S_f - \Omega_P G_P \right)^n. \]

Hierbei bezeichnet \( f \) die Flächen des Kontrollvolumens \( \Omega_P \), \( nb(P) \) die benachbarten Zellen, und \( S_f \) ist der nach außen gerichtete Normalenvektor, der jeder Fläche zugeordnet ist. Diese Formulierung ist wesentlich. zur Erzielung genauer und stabiler Lösungen in Finite-Volumen-Methoden.