Hochgeschwindigkeits-Wandfunktionen mit \(y^+\)-unabhängiger Überblendung (CMPS)

Einführung

Die Vorhersage der Wandschubspannung \(\tau_w\) und des Wandwärmestroms \(q_w\) in turbulenten Grenzschichten ist bekanntermaßen äußerst schwierig, da die wandnahe Region sehr steile Geschwindigkeits- und Temperaturgradienten sowie mehrere interagierende Teilschichten aufweist. Die direkte Auflösung der viskosen Teilschicht, der Pufferschicht und der logarithmischen Schicht erfordert Netze mit dem ersten Knoten bei \(y^+\!\approx\!1\) und Dutzenden von Punkten in der inneren Schicht, was bei industriellen Reynolds-Zahlen rechentechnisch nicht realisierbar ist.

Der CMPS-Solver verwendet \(y^+\)-unabhängige, gemischte Wandfunktionen , die (i) für jede Platzierung des ersten Knotens gültig sind, (ii) eine semilokale kompressible Skalierung für starke Eigenschaftsänderungen beinhalten, (iii) ein gemischtes Wärmegesetz für den Wärmetransport bereitstellen und (iv) eine für aerothermische Hochgeschwindigkeitsprobleme wichtige Korrektur für viskose Erwärmung berücksichtigen. Derselbe Rahmen unterstützt konsistent adiabatische, isotherme, aufgezwungene Wärmestrom-, externe Konvektions-, Strahlungs-, gemischte Konvektions-Strahlungs- und konjugierte (FSI) thermische Wandrandbedingungen.

Grundidee. Die mittleren Profile werden in Wandeinheiten angegeben und durch asymptotische Gesetze (linear und logarithmisch) dargestellt, die durch einen \(y^+\)-unabhängigen Übergang stetig ineinander übergehen . Diese zusammengesetzten Gesetze liefern geschlossene Beziehungen zwischen dem wandnahen Zustand \((U,T)\) am ersten wandfernen Knoten und den unbekannten Wandflüssen \((\tau_w, q_w)\), die der Löser iterativ bestimmt.

Skalierung der inneren Schicht und semilokale Transformationen

Reibungsskalen und klassische Wandeinheiten

Die Reibungsgeschwindigkeit \[ u_\tau \equiv \sqrt{\frac{\tau_w}{\rho_w}} , \] Mit der Wanddichte \(\rho_w\) wird die Geschwindigkeitsskala der inneren Schicht festgelegt. Klassische Wandeinheiten sind \[ y^+ = \frac{y\,\rho_w u_\tau}{\mu_w}, \qquad u^+ = \frac{U_\parallel}{u_\tau}, \] wobei \(U_\parallel\) die Größe der mittleren Tangentialgeschwindigkeit relativ zur Wand und \(\mu_w\) die Wandviskosität ist.

Thermische Wandelemente und Reibungstemperatur

Für die Wärmeübertragung \[ T_\tau = \frac{q_w}{\rho_w c_{p,w} u_\tau}, \qquad T^+ = \frac{T - T_w}{T_\tau}, \] wobei \(c_{p,w}\) die spezifische Wärmekapazität der Wand ist. Die molekularen und turbulenten Prandtl-Zahlen, \(\Pr\) und \(\Pr_t\), bestimmen die relative Bedeutung von Diffusion und turbulentem Transport.

Semi-lokale kompressible Skalierung

Bei starker Eigenschaftsvariation verwendet CMPS semi-lokale Transformationen (vom-Driest-Typ): \[ y^\ast = y\,\sqrt{\frac{\rho}{\rho_w}} \,\frac{\rho_w u_\tau}{\mu}, \qquad u^\ast = \frac{U_\parallel}{u_\tau \sqrt{\rho/\rho_w}} , \] und analog für die Temperatur, \[ T_\tau^\ast = \frac{q_w}{\rho c_p u_\tau \sqrt{\rho/\rho_w}} , \qquad T^\ast = \frac{T - T_w}{T_\tau^\ast}. \] Alle nachfolgenden Wandgesetze werden in Form der semi-lokalen Variablen \((y^\ast, u^\ast, T^\ast)\) ausgedrückt, um Robustheit im kompressiblen und hypersonischen Bereich zu gewährleisten.

Tangentiale Projektion an der Wand

Sei \(\hat{\boldsymbol{n}} \) die äußere Wandnormale und \(\boldsymbol{I}\) der Einheitstensor. Der Tangentialprojektor ist \(\boldsymbol{P}_t=\boldsymbol{I}-\hat{\boldsymbol{n}} \hat{\boldsymbol{n}} ^{\!\top}\). Mit den Fluid- und Wandgeschwindigkeiten \(\boldsymbol{u}\) und \(\boldsymbol{u}_w\). \[ \boldsymbol{u}_t = \boldsymbol{P}_t\,(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_w), \qquad U_\parallel = \|\boldsymbol{u}_t\|. \] Dies ist \(U_\parallel\) die Größe, die in \(u^+\) oder \(u^\ast\) eingeht.

Asymptotische Gesetze der inneren Schicht (Geschwindigkeit und Temperatur)

Viskose Teilschicht (\(y^\ast \lesssim 5\))

Der Impuls wird von der Diffusion dominiert: \[ \mu\,\frac{\partial U_\parallel}{\partial y} \ approx \tau_w \;\Rightarrow\; U_\parallel(y) \approx \frac{\tau_w}{\mu}\,y, \qquad u^\ast_\nu(y^\ast) = y^\ast. \] Die Wärmeübertragung ist überwiegend wärmeleitungsbasiert. Unter Verwendung einer Prandtl-abhängigen Steigung \[ T^\ast_\nu(y^\ast,\Pr) = \frac{\Pr}{\kappa}\,y^\ast, \] mit \(\kappa\ approx0.41\) der von Kármán-Konstante.

Logarithmischer Bereich (\(y^\ast \gtrsim 30\))

Die Impulsbilanz mit einer auf der Mischungslänge basierenden Wirbelviskosität ergibt \[ u^\ast_{\log}(y^\ast) = \frac{1}{\kappa}\,\ln y^\ast + B, \] mit \(B\approx5.2\). Analog ergibt der turbulente Wärmestrom ein thermisches logarithmisches Gesetz, \[ T^\ast_{\log}(y^\ast,\Pr_t) = \frac{1}{\kappa_T}\,\ln y^\ast + B_T, \] wobei \(\kappa_T\) und \(B_T\) von \(\Pr_t\) abhängen (typischerweise \(\Pr_t\approx0.85\text{–}0.95\)).

Thermische Übergangsparameter, die in CMPS verwendet werden

Der Code verwendet drei Prandtl-abhängige Hilfsfunktionen im thermischen Wandgesetz: einen Steigungs-/Offset-Modifikator \(P(\Pr)\); eine thermische Dämpfungsfunktion \(\Gamma_T(y^\ast,\Pr)\); und ein Schnittpunktniveau \(U_c^+(\Pr)\), an dem viskose und turbulente thermische Teilschichten aufeinandertreffen. Diese modulieren die zusammengesetzte Funktion \(T^\ast\), sodass Steigung und Krümmung über den gesamten Bereich von \(\Pr\) hinweg mit den Daten übereinstimmen.

\(y^+\)–Unabhängige Mischung (Geschwindigkeit und Temperatur)

Glatte Verbundgesetze

CMPS kombiniert die linearen und logarithmischen Schichtgesetze mit glatten Gewichten \(w_v(y^\ast)\) und \(w_t(y^\ast)=1-w_v(y^\ast)\): \[ u^\ast(y^\ast) = w_v\,u^\ast_\nu + w_t\,u^\ast_{\log}, \qquad T^\ast(y^\ast) = w_v\,T^\ast_\nu + w_t\,T^\ast_{\log}. \] Eine praktische Familie ist \(w_v(y^\ast)=\exp[-(y^\ast/y_{cr})^{n}]\), \(w_t=1-w_v\), mit dem Schnittpunkt \(y_{cr}\) und der Schärfe \(n\). Konstruktionsbedingt geben die Grenzwerte das exakte viskose und logarithmische Verhalten wieder.

Thermische Modifikatoren \(P(\Pr)\), \(\Gamma_T\) und \(U_c^+\)

Diese Parameter gewährleisten einen realistischen Beginn und eine realistische Überblendung des thermischen Turbulenzbeitrags über \(\Pr\), verhindern vorzeitige oder verzögerte Übergänge und glätten die Gesamtsteigung.

Von zusammengesetzten Gesetzen zu Flüssen

Wandschubspannung mittels einer Gleichung für die innere Schicht

Ausgehend vom ersten Wert außerhalb der Wand \(U_P=U_\parallel(y_P)\) im Abstand \(y_P\) löst CMPS \[ U_P = u_\tau \, u^\ast\!\big(y^\ast(u_\tau)\big), \qquad y^\ast(u_\tau) = y_P \sqrt{\frac{\rho}{\rho_w}} \,\frac{\rho_w u_\tau}{\mu}, \] für \(u_\tau\) mit dem Newton-Verfahren. Mit konvergiertem \(u_\tau\) gilt \(\tau_w=\rho_w u_\tau^2\).

Wärmeübergangskoeffizient aus dem zusammengesetzten Wärmegesetz

Aus \[ T_P - T_w = T_\tau^\ast \, T^\ast(y^\ast,\Pr,\Pr_t), \qquad T_\tau^\ast = \frac{q_w}{\rho c_p u_\tau \sqrt{\rho/\rho_w}} , \] man erhält \[ q_w = h (T_P - T_w), \qquad h = \frac{\rho c_p u_\tau}{\sqrt{\rho/\rho_w}} \;\frac{1}{T^\ast(y^\ast,\Pr,\Pr_t)}. \]

Viskose-Erwärmungskorrektur \(T_c\) (Hochgeschwindigkeits-Aerothermie)

CMPS ergänzt die Wandenergiebilanz um eine temperaturähnliche Korrektur \(T_c\). Im laminaren/viskosen Fall (oder wenn Turbulenzen ausgeschaltet sind): \[ T_c = \tfrac{1}{2}\,\frac{\mu}{k_\ell}\,\|\boldsymbol{u}_t\|^2. \] In RANS wird ein zusammengesetzter Wärmestrom \(T_c(\Pr,\rho,u_\tau,y^\ast,U_\parallel,U_c^+,\Gamma_T,k)\) mit korrekten Grenzwerten verwendet. Der einheitliche Wandwärmestrom ist \[ q_w = h\,(T_P - T_w) + \frac{T_c}{T^\ast}. \]

Thermische Randbedingungen der Wände (einheitliche Behandlung)

Sei \(h\) wie oben und \(S_{vh}=T_c/T^\ast\). CMPS berechnet \(T_w\) pro Randbedingung:

Adiabatisch: \(0 = h\,(T_P - T_w) + S_{vh} \Rightarrow T_w = T_P + S_{vh}/h = T_P + T_c/(h\,T^\ast)\).

Isotherm: \(T_w=T_{\text{set}} , \; q_w = h\,(T_P - T_{\text{set}} )+S_{vh}\).

Vorgeschriebener Wärmestrom: \(q_w=q_{\text{set}} , \; T_w = T_P + (q_{\text{set}} -S_{vh})/h\).

Äußere Konvektion: \(h\,(T_P - T_w)+S_{vh} = \alpha_a\,(T_\infty - T_w)\Rightarrow T_w = (h\,T_P+\alpha_a T_\infty+S_{vh})/(h+\alpha_a)\).

Strahlung: Lösung nach Newton: \[ f(T_w) = \varepsilon_w \sigma\,(T_w^4 - T_{ar}^4) - h\,(T_w - T_P) + \frac{T_c}{T^\ast}, \quad f'(T_w) = 4\,\varepsilon_w \sigma\,T_w^3 - h. \] Beginnen Sie mit \(T_w^{(0)}=\tfrac{1}{2}(T_{ar}+T_P)\).

Gemischte Konvektion-Strahlung: Newton über \[ f(T_w) = \varepsilon_w \sigma\,(T_w^4 - T_{ar}^4) + \alpha_a\,(T_w - T_\infty) - h\,(T_w - T_P) + \frac{T_c}{T^\ast}, \] mit der Ableitung \(f'(T_w) = 4\,\varepsilon_w \sigma\,T_w^3 + \alpha_a - h\).

Konjugiert (FSI): mit \(\alpha_s=k_s/d_s\): \[ T_w = \frac{\alpha_s\,T_s + h\,T_P + T_c/T^\ast}{\alpha_s + h}. \]

Der resultierende Wärmestrom beträgt: \(q_w = h\,(T_P - T_w) + T_c/T^\ast\) (sofern nicht anders vorgegeben).

Wandfunktion für die spezifische Dissipationsrate \(w^+\)

In CMPS wird \(\omega\) wie folgt ausgedrückt: \[ w^+ = \omega \,\frac{\nu}{u_\tau^2}, \qquad \nu = \frac{\mu}{\rho}. \] Asymptoten: \[ w_{\mathrm{vis}} (y^+) = \frac{6}{\beta_1 (y^+)^2}, \qquad w_{\mathrm{log}} (y^+,\beta_s) = \frac{1}{\sqrt{\beta_s}\,K\,y^+}. \] Kalibrierte Mischung: \[ w_{\mathrm{vis},c} = C_w\,w_{\mathrm{vis}} , \quad w_p = w_{\mathrm{vis},c}\!\left[1+\left(\frac{w_{\mathrm{log}} }{w_{\mathrm{vis},c}} \right)^{C_{\exp}} \right]^{1/C_{\exp}} . \] ALL-\(y^+\) Option mit Dämpfung \(\Gamma_k(y^+)\): \[ w_{\mathrm{vis},m} = w_{\mathrm{vis},c}\!\left[1+\left(\frac{w_{\mathrm{log}} }{w_{\mathrm{vis},c}} \right)^{C_{\exp}} \right]^{1/C_{\exp}} , \] \[ w^+ = e^{-\Gamma_k} w_{\mathrm{vis},m} + e^{-1/\Gamma_k}\left(\frac{1}{w_{\mathrm{log}} ^2}+\frac{1}{w_{\mathrm{vis},m}^2}\right)^{-1/2}. \] In inneren Variablen: \[ P_k^+ = \frac{P_k \nu}{u_\tau^4}, \quad k^+=\frac{k}{u_\tau^2}, \quad \varepsilon^+ = w^+ k^+, \] und das Gleichgewicht in Wandnähe erzwingt \(P_k^+\approx \varepsilon^+\).

Turbulenzwandgrößen in inneren Variablen

\(w^+ = \omega \nu/u_\tau^2\) macht \(\omega\) endlich und konsistent für \(y^+\to 0\). Mit \(k^+=k/u_\tau^2\) und \[ P_k \approx \tau_t \, \frac{\partial U_\parallel}{\partial y}, \qquad P_k^+ = \frac{P_k \nu}{u_\tau^4}, \] CMPS verwendet die gemischten Gradienten \(\partial u^\ast/\partial y^\ast\), um \(P_k^+\approx \varepsilon^+\) durch die Pufferschicht hindurch zu erhalten.

Linearisierung und Montage für das gekoppelte System

Sei \(A\) die Fläche. Der Wandwärmestrom \(\Phi_T=A\,q_w\) geht als Robin-Term in die diskrete Energiegleichung ein. CMPS linearisiert \(\Phi_T\) bezüglich lokaler Unbekannter (z. B. \(T_P\), Größen, die von \(u_\tau\), \(y^\ast\), \(T^\ast\) abhängen) und liefert konsistente Einträge in der Jacobi-Matrix. Der eingefrorene Teil aktualisiert die rechte Seite und verbessert so die Konvergenz der vollständig gekoppelten Lösung.

Technische Maßnahmen und Hochgeschwindigkeitsindikatoren

Aus \(\tau_w\) und \(q_w\) berichten CMPS-Berichte \[ C_f = \frac{2\,\tau_w}{\rho_\infty U_\infty^2}, \qquad St = \frac{q_w}{\rho_\infty c_p U_\infty (T_\infty - T_w)}. \] Auch \[ Ec = \frac{U_\infty^2}{c_p (T_\infty - T_w)}, \] mit hohen Werten für \(Ec\) und \(C_f\), was auf eine starke viskose Erwärmung hinweist (wobei \(T_c\) von entscheidender Bedeutung ist).

Algorithmische Zusammenfassung (CMPS-Wandbehandlung)

1. Berechne \(\boldsymbol{u}_t, U_\parallel\), lokale Eigenschaften \((\rho,\mu,k_\ell,c_p)\), Wandabstand \(y\) und Normale.
2. Bilde \(y^\ast\), konstruiere \(u^\ast(y^\ast)\); löse nach \(u_\tau\) mit dem Newton-Verfahren auf.
3. Berechne \(\Pr\), thermische Modifikatoren \(P(\Pr), \Gamma_T, U_c^+\); baue \(T^\ast(y^\ast)\).
4. Berechne \(h\) aus \(T^\ast\); konstruiere \(T_c\) (laminare Form oder RANS-Komposit), setze \(S_{vh}=T_c/T^\ast\).
5. Lösen Sie \(T_w\) nach der gewählten thermischen Randbedingung (geschlossene Form oder Newton); für FSI verwenden Sie die konjugierte Formel.
6. Berechne \(q_w=h(T_P-T_w)+T_c/T^\ast\) (sofern nicht anders vorgegeben).
7. Stelle \(\Phi_T=A\,q_w\) mit konsistenten Jacobi-Beiträgen zusammen.

Anmerkungen zur Robustheit und Anwendbarkeit

• \(y^+\)–Unabhängigkeit: Es gelten die gleichen Gesetze, egal ob \(y^+=1,10,200\).
• Kompressibilität: semi-lokales \((y^\ast,u^\ast,T^\ast)\) Kollapsverhalten der inneren Schicht bei hohem \(M\).
• Thermische Randbedingungen: Der einheitliche \(T_w\)-Rahmen umfasst adiabatische, isotherme, \(q\)-auferlegte, Konvektions-, Strahlungs-, gemischte und konjugierte Randbedingungen.
• Turbulenzkonsistenz: \(w^+,k^+,P_k^+\) ist an dieselben inneren Gradienten gebunden wie \(u^\ast,T^\ast\).
• Hochgeschwindigkeitserwärmung: \(S_{vh}=T_c/T^\ast\) erfasst die viskose Arbeit; reduziert sich im entsprechenden Grenzfall auf die laminare Form.

Zusammenfassung

CMPS implementiert ein Wandfunktionsmodell, das viskose und logarithmische Schicht-Asymptoten mit \(y^+\)-unabhängigen Gewichten kombiniert, semilokale kompressible Skalierung verwendet, \(h\) aus dem kombinierten \(T^\ast\) ableitet, die Energiebilanz um eine Korrektur für viskose Erwärmung erweitert und alle gängigen thermischen Randbedingungen (analytisch oder Newton) einheitlich behandelt. Inner skalierte Turbulenzvariablen \((w^+,k^+,P_k^+)\) gewährleisten konsistente Impuls-, Wärmetransport- und Turbulenzmodelle vom inkompressiblen bis zum hypersonischen Bereich ohne übermäßige Wandverfeinerung.

© CMPS — Dokumentationsseite zu Wandfunktionen