Zeitliche Diskretisierung für transiente Probleme
Numerische Simulationen von transienten Strömungsproblemen erfordern robuste zeitliche Diskretisierungstechniken. In CMPS stehen implizite und explizite Methoden zur Lösung dieser Probleme zur Verfügung. Jede Methode hat ihre eigenen... Spezifische Anwendungsgebiete, Vorteile und Einschränkungen.
Implizite vs. explizite Methoden
Explizite Methoden werden vor allem für Probleme der akustischen Wellenausbreitung eingesetzt. gehen mit mehreren Einschränkungen einher, wie etwa strengen Stabilitätsbedingungen, die oft sehr kleine Zeitschritte erfordern.
Implizite Methoden hingegen sind vielseitiger und stabiler, insbesondere bei steifen Problemen oder Szenarien. Diese Methoden ermöglichen größere Zeitschritte und eignen sich gut für Probleme mit starken Zeiträumen. Nichtlinearitäten oder Phänomene auf verschiedenen Skalen, wie beispielsweise chemische Reaktionen und thermische Prozesse.
Implizite Methoden zeichnen sich zwar durch hohe Stabilität aus, ihre Genauigkeit kann jedoch bei großen Zeitschrittweiten abnehmen. Zeit erster Ordnung Diskretisierung mit kleinen Zeitschrittweiten kann in vielen Szenarien immer noch besser abschneiden als explizite Methoden. Die Wahl der Die korrekte Zeitschrittgröße ist entscheidend und oft problemabhängig.
Zeitliche Diskretisierung erster und zweiter Ordnung
Die zeitliche Diskretisierung kann mithilfe von Verfahren erster oder zweiter Ordnung erfolgen, die jeweils unterschiedliche Eigenschaften bieten. Genauigkeitsgrade und Rechenaufwand.
Zeitliche Diskretisierung erster Ordnung
Schemata erster Ordnung sind recheneffizient und einfacher zu implementieren, aber weniger genau. Der Fehler verringert sich. linear mit der Zeitschrittweite \( \Delta t \). In CMPS wird die Finite-Differenzen-Methode erster Ordnung wie folgt ausgedrückt:
\[ \frac{\partial Q}{\partial t} = \frac{Q^{n+1} - Q^n}{\Delta t}, \]
wobei \( n \) den aktuellen Zeitschritt darstellt. Obwohl diese Verfahren weniger genau sind, können sie dennoch verwendet werden. vorteilhaft für Probleme, bei denen Recheneffizienz Priorität hat.
Zeitliche Diskretisierung zweiter Ordnung
Schemata zweiter Ordnung bieten eine höhere Genauigkeit, indem sie die Fehler quadratisch mit der Zeitschrittweite \( \Delta t^2 \) reduzieren. CMPS verwendet standardmäßig die Rückwärtsdifferenzmethode zweiter Ordnung, die wie folgt lautet:
\[ \frac{\partial Q}{\partial t} = \frac{3Q^{n+1} - 4Q^n + Q^{n-1}} {2\Delta t}. \]
Diese Verfahren eignen sich besonders gut zur Erfassung der Systemdynamik mit größeren Zeitschrittweiten, aber sie Sie benötigen im Vergleich zu Methoden erster Ordnung mehr Rechenressourcen.
Auswahl zwischen Methoden erster und zweiter Ordnung
Die Wahl der zeitlichen Diskretisierung hängt vom Verhältnis zwischen Genauigkeit und Rechenaufwand ab. Methoden erster Ordnung eignen sich für umfangreiche Simulationen, bei denen Effizienz von größter Bedeutung ist. Für Anwendungen mit hohen Genauigkeitsanforderungen werden Methoden zweiter Ordnung bevorzugt.
Dual Time Stepping
Die Dual-Time-Stepping-Methode ist eine fortschrittliche Technik, die zur Verbesserung der Stabilität und Effizienz von transienten Simulationen eingesetzt wird. Es führt einen Pseudo-Zeitschritt \( \Delta \tau \) ein, der sich vom physikalischen Zeitschritt \( \Delta t \) unterscheidet.
Der Pseudo-Zeitschritt wird verwendet, um die diskretisierten Gleichungen in jedem physikalischen Zeitschritt iterativ zu lösen, wodurch Folgendes ermöglicht wird für eine schnelle Konvergenz. Dieser Ansatz ist besonders nützlich für langsame und kompressible Strömungen, bei denen eine Vorkonditionierung erforderlich ist. spielt eine entscheidende Rolle.
In CMPS stellt die Dual-Time-Stepping-Methode die durch die Vorkonditionierung möglicherweise verloren gegangene Zeitgenauigkeit wieder her. Die Integration erfolgt mittels eines Verfahrens erster Ordnung, während die physikalische Zeitintegration Verfahren erster oder zweiter Ordnung verwenden kann. Die grundlegende Gleichung für die physikalische Zeitintegration in CMPS lautet:
\[ \frac{\partial W}{\partial t} = \frac{3W^{n+1} - 4W^n + W^{n-1}} {2\Delta t}. \]
Hierbei repräsentiert \( W \) konservative Variablen, da die Vorkonditionierung nur auf primitive Variablen \( Q \) angewendet wird.
Methode der verzögerten Korrektur
In CMPS wird ein Verfahren zur verzögerten Korrektur (DC) verwendet, um die zeitliche Genauigkeit impliziter Methoden zu verbessern. Dieser Ansatz kombiniert Lösungen niedrigerer Ordnung mit Fehlerkorrekturen, um eine höhere Genauigkeit bei reduziertem Rechenaufwand zu erreichen. Rechenaufwand.
Der allgemeine Prozess beinhaltet das Lösen der Gleichung:
\[ \frac{dy}{dt} = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0, \]
unter Verwendung einer impliziten Näherung in jedem Zeitschritt. Die Anfangsnäherung bei \( t_{n+1} \) ist gegeben durch:
\[ y_{n+1}^{(0)} = y_n + \Delta t \cdot f(t_{n+1}, y_{n+1}^{(0)}). \]
Die Verfeinerungen erfolgen mithilfe iterativer Verfahren wie dem Newton-Raphson-Verfahren, und Fehlerschätzungen werden zur Korrektur angewendet. Die Lösung. Das verzögerte Korrekturverfahren gewährleistet eine höhere Genauigkeit, indem Korrekturen interpoliert werden. den Lösungsraum.
Diese Methode ist besonders effektiv in CMPS, wo Lösungen erster Ordnung verfeinert werden, um Lösungen zweiter Ordnung zu erreichen. Genauigkeit ohne den vollen Rechenaufwand eines Verfahrens zweiter Ordnung. Adaptives Sub-Stepping gewährleistet Stabilität. bei gleichzeitiger Aufrechterhaltung der Effizienz.